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chevron_right11.07.2004
Quersummen
Wie wir alle wissen, gibt es eine einfache Regel, um die Teilbarkeit einer Zahl durch 3 festzustellen: ist die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar, so ist die Zahl es selbst ebenfalls.
So ist die Quersumme aus 8046 etwa 8+0+4+6=18 und 18 ist durch 3 teilbar. Hierbei erkennt man nun, dass man die Zahl 0 eigentlich ignorieren kann, so kann man also behaupten, dass die Zahl 402700230 durch 3 teilbar ist, wenn 4+2+7+2+3 durch 3 teilbar ist. Auch hierbei ist die Quersumme wieder 18.
Nun gibt es noch eine Erweiterung von Quersummen, die - wie ich sie nenne - Totalquersummen. (Anmerkung: eine andere Bezeichnung dafür lautet "Digitale Wurzeln") Die Quersumme einer Zahl ist auch nur irgendeine Zahl, so kann man aus dieser Quersumme also wieder die Quersumme ziehen, und so weiter. Die Zahl, die man zuletzt als Ergebnis erhält, in jedem Fall einstellig. Unter den einstelligen Zahlen gibt es nur drei, die eine Teilbarkeit durch 3 haben, nämlich 3, 6 und 9.
Nun ist mir vor einigen Jahren erstmals aufgefallen, dass es eine weitere Methode gibt, um die Quersumme zu erhalten - vom Regelwerk her ist diese Methode zwar etwas komplizierter, beherrscht man die Regeln jedoch, so ist man mit dieser Methode sehr viel schneller am Ziel, als man es mit dem Zusammenzählen der Quersummen ist. Ich persönlich berechne damit die Dreiteilbarkeit beliebiger 20-stelliger Zahlen innerhalb von etwa 3 bis 4 Sekunden.
Erstens, wie ja schon oben gezeigt wurde, kann man jegliche Nullen einer Zahl getrost ignorieren, da ein "plus 0" in der Quersumme das Ergebnis in keinster Weise verändert. Nun kann man auch verschiedene Zahlen, die zusammen 9 ergeben, beide zusammen jeweils ignorieren, was auch ganz einfach zu beweisen ist: rechnet man zu einer beliebigen Zahl, in diesem Beispiel 2, einfach 9 hinzu und zieht die Quersumme daraus, erhält man 2+9=11, die Quersumme 1+1 ist wieder 2. Ein weiteres Beispiel: addieren wir die 9 auf die Zahl 5, erhalten wir 14. Die Quersumme, also 1+4, ist wieder 5 - eine 9 verändert also nichts an der Totalquersumme.
Aus diesen einfachen Regeln kann man bequem die Totalquersumme ziehen. Auf diese Weise kann man auch, wenn man beispielsweise die Zahl 842 hat, von einer der Ziffern einen Wert abziehen, welchen man gleichzeitig zu einer anderen der Ziffern wieder hinzu addiert. Für die Totalquersumme heisst das: Totalquersumme - x + x, was also am Ende keinen Unterschied macht. Bei der Zahl 842 könnte man nun bei der 2 genau eins abziehen, diese eins bei der 8 dazuzählen, schon hat man 941 und kann die 9 getrost ignorieren. Es geht also in der Tat noch bequemer - man muss gar nicht viel herumrechnen, nur einstellige Pluszahlen (das kann jeder Grundschüler), und so einfach kann man ermitteln, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist.
Nun gibt es einen Spezialfall, der vielleicht etwas verwirrend sein könnte, wenn ich ihn hier nicht erwähne. Bei der Zahl "999000" sowie bei allen anderen Zahlen, wo man die Ziffern irgendwie zu Neunen addieren kann, kann man ja, wie oben geschildert, jede 9 und jede 0 ignorieren. Nun erhält man am Ende als Totalquersumme die 0, welche nicht durch 3 teilbar ist. Hier kommt nun die Tatsache ins Spiel, dass wir Nullen und Neunen einfach ignorieren - dies machen wir nun ganz kurz rückgängig. Einmal ersetzen wir die Totalquersumme durch die Nullen, es macht allerdings wenig Sinn, eine 0 durch eine andere 0 zu ersetzen. Das vergessen wir also schnell wieder. Nun ersetzen wir die 0 durch die 9, wie wir vorher jede 9 durch eine 0 ersetzt haben, und erhalten so als Endergebnis eine 9, welche genau zweimal durch 3 teilbar ist.
Jede Zahl, dessen Totalquersumme 0 ist, ist also zweimal durch 3 teilbar - beziehungsweise durch 9.
So ist die Quersumme aus 8046 etwa 8+0+4+6=18 und 18 ist durch 3 teilbar. Hierbei erkennt man nun, dass man die Zahl 0 eigentlich ignorieren kann, so kann man also behaupten, dass die Zahl 402700230 durch 3 teilbar ist, wenn 4+2+7+2+3 durch 3 teilbar ist. Auch hierbei ist die Quersumme wieder 18.
Nun gibt es noch eine Erweiterung von Quersummen, die - wie ich sie nenne - Totalquersummen. (Anmerkung: eine andere Bezeichnung dafür lautet "Digitale Wurzeln") Die Quersumme einer Zahl ist auch nur irgendeine Zahl, so kann man aus dieser Quersumme also wieder die Quersumme ziehen, und so weiter. Die Zahl, die man zuletzt als Ergebnis erhält, in jedem Fall einstellig. Unter den einstelligen Zahlen gibt es nur drei, die eine Teilbarkeit durch 3 haben, nämlich 3, 6 und 9.
Nun ist mir vor einigen Jahren erstmals aufgefallen, dass es eine weitere Methode gibt, um die Quersumme zu erhalten - vom Regelwerk her ist diese Methode zwar etwas komplizierter, beherrscht man die Regeln jedoch, so ist man mit dieser Methode sehr viel schneller am Ziel, als man es mit dem Zusammenzählen der Quersummen ist. Ich persönlich berechne damit die Dreiteilbarkeit beliebiger 20-stelliger Zahlen innerhalb von etwa 3 bis 4 Sekunden.
Erstens, wie ja schon oben gezeigt wurde, kann man jegliche Nullen einer Zahl getrost ignorieren, da ein "plus 0" in der Quersumme das Ergebnis in keinster Weise verändert. Nun kann man auch verschiedene Zahlen, die zusammen 9 ergeben, beide zusammen jeweils ignorieren, was auch ganz einfach zu beweisen ist: rechnet man zu einer beliebigen Zahl, in diesem Beispiel 2, einfach 9 hinzu und zieht die Quersumme daraus, erhält man 2+9=11, die Quersumme 1+1 ist wieder 2. Ein weiteres Beispiel: addieren wir die 9 auf die Zahl 5, erhalten wir 14. Die Quersumme, also 1+4, ist wieder 5 - eine 9 verändert also nichts an der Totalquersumme.
Aus diesen einfachen Regeln kann man bequem die Totalquersumme ziehen. Auf diese Weise kann man auch, wenn man beispielsweise die Zahl 842 hat, von einer der Ziffern einen Wert abziehen, welchen man gleichzeitig zu einer anderen der Ziffern wieder hinzu addiert. Für die Totalquersumme heisst das: Totalquersumme - x + x, was also am Ende keinen Unterschied macht. Bei der Zahl 842 könnte man nun bei der 2 genau eins abziehen, diese eins bei der 8 dazuzählen, schon hat man 941 und kann die 9 getrost ignorieren. Es geht also in der Tat noch bequemer - man muss gar nicht viel herumrechnen, nur einstellige Pluszahlen (das kann jeder Grundschüler), und so einfach kann man ermitteln, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist.
Nun gibt es einen Spezialfall, der vielleicht etwas verwirrend sein könnte, wenn ich ihn hier nicht erwähne. Bei der Zahl "999000" sowie bei allen anderen Zahlen, wo man die Ziffern irgendwie zu Neunen addieren kann, kann man ja, wie oben geschildert, jede 9 und jede 0 ignorieren. Nun erhält man am Ende als Totalquersumme die 0, welche nicht durch 3 teilbar ist. Hier kommt nun die Tatsache ins Spiel, dass wir Nullen und Neunen einfach ignorieren - dies machen wir nun ganz kurz rückgängig. Einmal ersetzen wir die Totalquersumme durch die Nullen, es macht allerdings wenig Sinn, eine 0 durch eine andere 0 zu ersetzen. Das vergessen wir also schnell wieder. Nun ersetzen wir die 0 durch die 9, wie wir vorher jede 9 durch eine 0 ersetzt haben, und erhalten so als Endergebnis eine 9, welche genau zweimal durch 3 teilbar ist.
Jede Zahl, dessen Totalquersumme 0 ist, ist also zweimal durch 3 teilbar - beziehungsweise durch 9.
Aus welchem Grund können Quersummen so etwas überhaupt?
Diese Frage habe ich mir irgendwann einmal gestellt - und meine erste Idee, die sich als richtig erweisen sollte, war, dass die Zahl 3 im Quadrat, also 9, genau der Wert ist, den eine einzige Ziffer maximal annehmen kann - soll das der Grund dafür sein, dass die Quersumme eine Zahl aufzeigt, ob sie durch 3 bzw. 9 teilbar ist? Unser 10er-System (Dezimalsystem) ist dafür verantwortlich?
Das würde doch bedeuten, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist, wenn man sie in ein 5er-System (1 + 2^2) umrechnen würde und wenn die Totalquersumme im 5er-System durch 2 teilbar ist. Wir können es in unserem 10er-System auf Anhieb sehen, ob eine Zahl diese Eigenschaft hat, aber so einfach es ist, ist es doch ein erster Beweis fuer diese Vermutung. Rechnen wir nun die Zahl 25, welche nicht durch 2 teilbar ist, einmal in ein 5er-System um. In diesem System sehen die Zahlen so aus: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, 102, .... Die drittletzte Zahl, 100, ist nun die fünfundzwanzigste Zahl dieses Systems. Die Quersumme dieser Zahl ist 1+0+0, welche in diesem System nicht durch 2 teilbar ist, so wäre die Zahl 25 in unserem normalen Zahlensystem also auch nicht durch 2 teilbar.
Schauen wir uns nun einmal die nächste und die vorherige Zahl an - in unserem System also die 24 und die 26, welche beide durch 2 teilbar sind. Im 5er-System wären das nun die Zahlen 44 und 101. Die Quersumme der ersten Zahl ist 4+4, was im 5er-System 13 ergibt - ersichtlich in der oben genannten Zahlenreihe. Die Quersumme 1+3 ist 4, welche im 5er-System durch 2 teilbar ist. Die andere Zahl, 101, ist nun in der Quersumme 1+0+1, was 2 ergibt. Die 2 ist selbstverständlich durch 2 teilbar, somit ist also auch die Zahl 26 in unserem normalen Zahlensystem durch 2 teilbar - für das Fünfersystem stimmt die Vermutung zur Teilbarkeitsermittlung von mir also.
Nun betrachten wir die Teilbarkeit einer Zahl durch 5. Auch diese kann man in unserem Zahlensystem problemlos erkennen: endet eine Zahl mit 5 oder mit 0, so ist sie durch 5 teilbar. Nun müssten wir eine Zahl jedoch in ein Zahlensystem mit dem Maximalwert 5^2 pro Ziffer umrechnen. Wenn also die ersten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, g, h, ... sind, so wäre die 25ste Zahl ein "p". Dies ist in diesem System der größte Wert pro Ziffer, die danach folgende Zahl wäre 10, was in unserem System der 26 entspricht. Überprüfen wir nun also fünf aufeinanderfolgende Zahlen auf ihre Totalquersummen, denn eine davon ist in jedem Fall durch 5 teilbar - ein relativ trivialer mathematischer Satz ist es, dass jede n-te Zahl durch n teilbar ist. Umgeformt heißt das, dass jede Vielfache einer beliebigen Zahl diese beliebige Zahl immer als Faktor enthält und somit durch diesen teilbar ist. Nehmen wir einfach mal die Zahlen 158, 159, 15a, 15b und 15c. 1+5+8 waere in unserem Zahlensystem 14, die vierzehnte Zahl des 25er-Systems lautet "e". Für die nächste Zahl ist die Totalquersumme genau um den Wert 1 höher, sie lautet also "f". So geht es weiter, es folgen also "g", "h" und "i". Die Quersumme der zweiten Zahl, f, ist in unser Zahlensystem umgerechnet 15, welche natürlich durch 5 teilbar ist, während 14, 16, 17 und 18 - die umgerechneten Quersummen der anderen vier Zahlen - nicht durch 5 teilbar sind.
Schauen wir uns doch nun einmal an, welche Zahl 159 in unserem Zahlensystem darstellt. Wir erinnern uns, dass in dem uns bekannten Zahlensystem jede Zahl, die auf 5 oder 0 endet, durch 5 teilbar sein muss. Erst einmal schauen wir uns dazu das Einfachste vom Einfachen an: eine aufgezählte Zahlenreihe bis zur gesuchten Zahl, wobei jede durch 5 teilbare Zahl durch Fettdruck gekennzeichnet ist. Wie in der vorletzten Reihe etwas links von der Mitte sichtbar wird, gehört die 159 zu den fettgedruckten Zahlen, welche somit also durch 5 teilbar ist. Auch wenn es nicht unbedingt eine mathematisch professionelle Methode ist, so ist sie doch verständlicher für den Laien - zählen wir einfach einmal nach, welche Zahl 159 denn ist. Wir wissen, dass die 10, also die erste Zahl der zweiten Reihe, der 26 entspricht. Die erste Zahl der dritten Reihe, 20, entspricht 52, usw. ... bis zur vorletzten Reihe sind es also genau 31 mal 26, was 806 entspricht. Die letzte Ziffer der Zahl 159 ist die 9, welche auch in unserem Zahlensystem der 9 entspricht. Diese addieren wir nun zur 806 und erhalten 815 - 815 ist ganz eindeutig durch 5 teilbar.
Zur Formel hierfür müssen wir uns erst einmal einprägen, dass die verwendeten Buchstaben ebenso für Zahlen stehen, wie 1, 2 oder 3. A steht für 10, B für 11, ..., G steht für 16 und so weiter. Die letzte Zahl rechnen wir ganz einfach um, indem wir den Buchstaben durch die jeweilige Zahl ersetzen - im Fall einer Zahl, die also einen Wert von unter 10 hat, rechnet man sie in genau dieselbe Zahl um (aus B wird 11, aus A wird 10, aus 9 wird 9, aus 8 wird 8). Die zweite Zahl von hinten sind die ganzen 26er - aus der Schule kennen wir sie noch als "ganze 10er", jedoch rechnen wir hier ja nicht im uns bekannten 10er-Dezimalsystem, in welchem der maximale Wert einer einzelnen Ziffer 9 ist, sondern im 26er-System, wo der maximale Wert einer einzelnen Ziffer 25 ist. 1 mehr und man hat 26, was im 26er-System als 10 geschrieben wird - man spricht also von "ganzen Sechsundzwanzigern". Im 25er-System haben wir genau 15 dieser 26er, nun darf man allerdings nicht den Fehler machen, einfach 15*26 zu rechnen, denn dann vergisst man, dass in der 15 selbst ja noch mehr steckt, da im 25er-System neben den Zahlen noch Buchstaben als Zählmittel verwendet werden. Lesen wir nun an der oben verlinkten Liste ab, für welche Zahl die 15 steht, so erhalten wir 31, was man auch einfach nachrechnen kann: 1*26 + 5 = 26+5 = 31. Wir rechnen also nicht 15*26, sondern 31*26, was den Wert 806 ergibt.
Eine allgemeine Formel zur Umrechnung von Zahlen aus dem 26er-System in das uns bekannte Dezimalsystem (10er-System) für die Zahl UVWXYZ, wobei jeder Buchstabe für je eine Ziffer steht und sich zwischen ihnen KEINE Multiplikationszeichen befinden, ist:
(U * 26^5) + (V * 26^4) + (W * 26^3) + (X * 26^2) + (Y * 26^1) + (Z * 26^0)
Die Klammern habe ich nur der Übersichtlichkeit gesetzt - durch die Punkt-vor-Strich-Rechnung stimmt diese Formel auch ohne Klammern. Hat man also im 26er-System die Zahl 100000, so rechnet man 1 * 26^5, während alle anderen Zahlen Null ergeben: 0 * 26^4 = 0, 0 * 26^3 = 0, usw.! 1*26^5 ergibt dann also 11881376 - eine zufällig erscheinende Zahl, und doch steht sie für die "Einhunderttausenderstelle" im 25er-System. Durch das allgemeine n^0-Ergebnis und weil Z * 1 = Z ist, kann man die Formel leicht umformen:
(U * 26^5) + (V * 26^4) + (W * 26^3) + (X * 26^2) + (Y * 26) + Z
Zur Erklärung: Die 26 in dieser Formel dürfte im Prinzip klar sein. Sie ergibt sich aus dem maximal möglichen Wert pro Ziffer, welcher hierbei 25 ist - man rechnet noch 1 dazu und erhält 26. Die Potenz wird ganz einfach dadurch bestimmt, wie weit sie von der letzten Stelle entfernt ist. Die hinterste Zahl hat also wegen Entfernung Null die Potenz 0, was in jedem Fall zu Z * 1 führt, denn jede Zahl, die man mit 0 potenziert, ergibt 1. Die Stelle, die von der hintersten aus gesehen die vierte ist, wäre also mit 26^4 'gekennzeichnet', wenn man sie in eine Umrechnungsformel einbaut.
Diese Methode ist, auch wenn noch kein mathematischer Beweis dafür vorliegt, für jede beliebige Zahl korrekt. Man kann mit ihr die Teilbarkeit jeder beliebigen Zahl durch jede beliebige Zahl ermitteln - das einzige Problem ist eben, dass immer auf verhältnismäßig große Zahlen zurückgegriffen werden muss, um diese Methode zu verwenden. Es fragt sich also, ob die Methode programmiertechnisch effektiver ist als die simple "einfach-ausprobieren-und-Rest-angucken"-Methode. Jedoch ist sie auch für den Fall, dass sie langsamer ist, etwas Neues.
Das würde doch bedeuten, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist, wenn man sie in ein 5er-System (1 + 2^2) umrechnen würde und wenn die Totalquersumme im 5er-System durch 2 teilbar ist. Wir können es in unserem 10er-System auf Anhieb sehen, ob eine Zahl diese Eigenschaft hat, aber so einfach es ist, ist es doch ein erster Beweis fuer diese Vermutung. Rechnen wir nun die Zahl 25, welche nicht durch 2 teilbar ist, einmal in ein 5er-System um. In diesem System sehen die Zahlen so aus: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, 102, .... Die drittletzte Zahl, 100, ist nun die fünfundzwanzigste Zahl dieses Systems. Die Quersumme dieser Zahl ist 1+0+0, welche in diesem System nicht durch 2 teilbar ist, so wäre die Zahl 25 in unserem normalen Zahlensystem also auch nicht durch 2 teilbar.
Schauen wir uns nun einmal die nächste und die vorherige Zahl an - in unserem System also die 24 und die 26, welche beide durch 2 teilbar sind. Im 5er-System wären das nun die Zahlen 44 und 101. Die Quersumme der ersten Zahl ist 4+4, was im 5er-System 13 ergibt - ersichtlich in der oben genannten Zahlenreihe. Die Quersumme 1+3 ist 4, welche im 5er-System durch 2 teilbar ist. Die andere Zahl, 101, ist nun in der Quersumme 1+0+1, was 2 ergibt. Die 2 ist selbstverständlich durch 2 teilbar, somit ist also auch die Zahl 26 in unserem normalen Zahlensystem durch 2 teilbar - für das Fünfersystem stimmt die Vermutung zur Teilbarkeitsermittlung von mir also.
Nun betrachten wir die Teilbarkeit einer Zahl durch 5. Auch diese kann man in unserem Zahlensystem problemlos erkennen: endet eine Zahl mit 5 oder mit 0, so ist sie durch 5 teilbar. Nun müssten wir eine Zahl jedoch in ein Zahlensystem mit dem Maximalwert 5^2 pro Ziffer umrechnen. Wenn also die ersten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, g, h, ... sind, so wäre die 25ste Zahl ein "p". Dies ist in diesem System der größte Wert pro Ziffer, die danach folgende Zahl wäre 10, was in unserem System der 26 entspricht. Überprüfen wir nun also fünf aufeinanderfolgende Zahlen auf ihre Totalquersummen, denn eine davon ist in jedem Fall durch 5 teilbar - ein relativ trivialer mathematischer Satz ist es, dass jede n-te Zahl durch n teilbar ist. Umgeformt heißt das, dass jede Vielfache einer beliebigen Zahl diese beliebige Zahl immer als Faktor enthält und somit durch diesen teilbar ist. Nehmen wir einfach mal die Zahlen 158, 159, 15a, 15b und 15c. 1+5+8 waere in unserem Zahlensystem 14, die vierzehnte Zahl des 25er-Systems lautet "e". Für die nächste Zahl ist die Totalquersumme genau um den Wert 1 höher, sie lautet also "f". So geht es weiter, es folgen also "g", "h" und "i". Die Quersumme der zweiten Zahl, f, ist in unser Zahlensystem umgerechnet 15, welche natürlich durch 5 teilbar ist, während 14, 16, 17 und 18 - die umgerechneten Quersummen der anderen vier Zahlen - nicht durch 5 teilbar sind.
Schauen wir uns doch nun einmal an, welche Zahl 159 in unserem Zahlensystem darstellt. Wir erinnern uns, dass in dem uns bekannten Zahlensystem jede Zahl, die auf 5 oder 0 endet, durch 5 teilbar sein muss. Erst einmal schauen wir uns dazu das Einfachste vom Einfachen an: eine aufgezählte Zahlenreihe bis zur gesuchten Zahl, wobei jede durch 5 teilbare Zahl durch Fettdruck gekennzeichnet ist. Wie in der vorletzten Reihe etwas links von der Mitte sichtbar wird, gehört die 159 zu den fettgedruckten Zahlen, welche somit also durch 5 teilbar ist. Auch wenn es nicht unbedingt eine mathematisch professionelle Methode ist, so ist sie doch verständlicher für den Laien - zählen wir einfach einmal nach, welche Zahl 159 denn ist. Wir wissen, dass die 10, also die erste Zahl der zweiten Reihe, der 26 entspricht. Die erste Zahl der dritten Reihe, 20, entspricht 52, usw. ... bis zur vorletzten Reihe sind es also genau 31 mal 26, was 806 entspricht. Die letzte Ziffer der Zahl 159 ist die 9, welche auch in unserem Zahlensystem der 9 entspricht. Diese addieren wir nun zur 806 und erhalten 815 - 815 ist ganz eindeutig durch 5 teilbar.
Zur Formel hierfür müssen wir uns erst einmal einprägen, dass die verwendeten Buchstaben ebenso für Zahlen stehen, wie 1, 2 oder 3. A steht für 10, B für 11, ..., G steht für 16 und so weiter. Die letzte Zahl rechnen wir ganz einfach um, indem wir den Buchstaben durch die jeweilige Zahl ersetzen - im Fall einer Zahl, die also einen Wert von unter 10 hat, rechnet man sie in genau dieselbe Zahl um (aus B wird 11, aus A wird 10, aus 9 wird 9, aus 8 wird 8). Die zweite Zahl von hinten sind die ganzen 26er - aus der Schule kennen wir sie noch als "ganze 10er", jedoch rechnen wir hier ja nicht im uns bekannten 10er-Dezimalsystem, in welchem der maximale Wert einer einzelnen Ziffer 9 ist, sondern im 26er-System, wo der maximale Wert einer einzelnen Ziffer 25 ist. 1 mehr und man hat 26, was im 26er-System als 10 geschrieben wird - man spricht also von "ganzen Sechsundzwanzigern". Im 25er-System haben wir genau 15 dieser 26er, nun darf man allerdings nicht den Fehler machen, einfach 15*26 zu rechnen, denn dann vergisst man, dass in der 15 selbst ja noch mehr steckt, da im 25er-System neben den Zahlen noch Buchstaben als Zählmittel verwendet werden. Lesen wir nun an der oben verlinkten Liste ab, für welche Zahl die 15 steht, so erhalten wir 31, was man auch einfach nachrechnen kann: 1*26 + 5 = 26+5 = 31. Wir rechnen also nicht 15*26, sondern 31*26, was den Wert 806 ergibt.
Eine allgemeine Formel zur Umrechnung von Zahlen aus dem 26er-System in das uns bekannte Dezimalsystem (10er-System) für die Zahl UVWXYZ, wobei jeder Buchstabe für je eine Ziffer steht und sich zwischen ihnen KEINE Multiplikationszeichen befinden, ist:
(U * 26^5) + (V * 26^4) + (W * 26^3) + (X * 26^2) + (Y * 26^1) + (Z * 26^0)
Die Klammern habe ich nur der Übersichtlichkeit gesetzt - durch die Punkt-vor-Strich-Rechnung stimmt diese Formel auch ohne Klammern. Hat man also im 26er-System die Zahl 100000, so rechnet man 1 * 26^5, während alle anderen Zahlen Null ergeben: 0 * 26^4 = 0, 0 * 26^3 = 0, usw.! 1*26^5 ergibt dann also 11881376 - eine zufällig erscheinende Zahl, und doch steht sie für die "Einhunderttausenderstelle" im 25er-System. Durch das allgemeine n^0-Ergebnis und weil Z * 1 = Z ist, kann man die Formel leicht umformen:
(U * 26^5) + (V * 26^4) + (W * 26^3) + (X * 26^2) + (Y * 26) + Z
Zur Erklärung: Die 26 in dieser Formel dürfte im Prinzip klar sein. Sie ergibt sich aus dem maximal möglichen Wert pro Ziffer, welcher hierbei 25 ist - man rechnet noch 1 dazu und erhält 26. Die Potenz wird ganz einfach dadurch bestimmt, wie weit sie von der letzten Stelle entfernt ist. Die hinterste Zahl hat also wegen Entfernung Null die Potenz 0, was in jedem Fall zu Z * 1 führt, denn jede Zahl, die man mit 0 potenziert, ergibt 1. Die Stelle, die von der hintersten aus gesehen die vierte ist, wäre also mit 26^4 'gekennzeichnet', wenn man sie in eine Umrechnungsformel einbaut.
Diese Methode ist, auch wenn noch kein mathematischer Beweis dafür vorliegt, für jede beliebige Zahl korrekt. Man kann mit ihr die Teilbarkeit jeder beliebigen Zahl durch jede beliebige Zahl ermitteln - das einzige Problem ist eben, dass immer auf verhältnismäßig große Zahlen zurückgegriffen werden muss, um diese Methode zu verwenden. Es fragt sich also, ob die Methode programmiertechnisch effektiver ist als die simple "einfach-ausprobieren-und-Rest-angucken"-Methode. Jedoch ist sie auch für den Fall, dass sie langsamer ist, etwas Neues.